比例微分和比例積分微分控制規律

1. 比例微分控制規律

(1)微分控制規律

對于時間常數較大的被控過程，為提高控制系統的動態控制品質，常常使用微分控制規律。微分控制規律用于自動控制系統時，即使偏差很小，但只要出現變化趨勢即可根據變化的速度產生強烈的控制作用，使干擾的影響盡快地消除在萌芽狀態之中。這種 超前的控制作用，可以有效地抑制過渡過程的超調量，有利于提高控制質量。但是，也正是由于純微分控制的上述特點，因此對靜態的偏差毫無抑制能力。如果系統的被控量一直是以控制器難以察覺到速度緩慢變化時，控制器并不動作，這樣被控量的偏差卻有 可能積累到相當大的數值而得不到糾正。因此，單純的微分控制只能起到輔助控制作用， 不能單獨使用。

所謂被控變量的變化趨勢，就是偏差變化的速度?？刂破魑⒎肿饔玫妮敵雠c偏差變化的速度呈正比 可用下式表示 

式中，TD為微分時間。

上式表明，對這種微分控制規律來說，輸入偏差變化的速度越大，則微分作用的輸出越大，然而對于一個固定不變的偏差，不管這個偏差有多大，微分作用的輸出總是零。這種微分控制規律通常稱為理想微分作用。理想微分控制器的階躍響應曲線如圖3-8所示，由圖可以更直觀看出理想微分作用的這一特點。

(2)實際比例微分控制規律 在控制器中，通常采用微分作用和比例作用以及一 階慣性環節組合的實際比例微分控制規律。具有實際比 例微分控制規律的控制器稱為比例微分控制器，其特性為

式中，KD為微分增益，或稱為微分放大倍數；TD為微分時間。

比例微分控制器傳遞函數為

階躍響應特性如圖3-9所示

(3)微分作用的參數及其測定

在階躍信號（幅值為A)輸入時，經拉氏反變換，可以求得比例微分控制器輸出為

式中，TD為微分時間常數。

式（3-22)即為圖3-9的所示的比例微分控制器階躍響應曲線的表達式。它表明， 在階躍信號輸入下 比例微分控制器由比例作用輸出和微分作用輸出兩部分組成，分別為

當t→0時，由式（3-22)可得輸出的初始值為

當t→∞時，可得輸出的穩態值為

式（3-22)、式（3-26)和式（3-27)表明，在階躍輸入下，比例微分控制器的輸出，一開始將輸入信號放大KPKD倍，以后按時間常數為TD的指數曲線下降，最終只剩下比例作用'的輸出KPA(見圖3-9)。

(4) 微分控制規律的特點 由于微分作用的輸出與偏差變化的速度呈正比， 這種跟據偏差變化的趨勢提前采取控制措施稱為“超前”。因此，微分作用也成為超前作用，這是微分作用的一個特點。

圖3-10形象地說明了微分作用具有超前的特點。圖中，輸入信號為等速上升的斜坡信號比例微分作用的輸出經一段時間延時后，也是一等速上升的斜坡信號。由圖可以看出穩定之后同一時刻的比例微分作用的輸出，總是超前于輸入 —段恒定的時間Tta.超前時間Tta可以求得為

2.比例積分微分控制規律

將比例、積分、微分三種控制規律結合在一起，組成PID 三作用控制器。理想的PID作用的微分方程為

傳遞函數為

(1)模擬控制器的PID運算式

具有PID控制規律的實際模擬控制器可以是由單只放大器和微分電（氣）路、積分電（氣） 路組成的PID結構形式，也可是由兩個或兩個以上的P、PI、和PD運算部件通過串聯、并 聯或串聯-并聯混合方式組成的PID結構形式。但是，不論儀表的具體結構形式如何，對測量值和給定值的比較處理方面，可以分為如圖3-11所示的兩種形式，因此有兩種形式的PID運算形式。

(2) 數字式PID運算式 -

在數字控制器和DCS等計算機控制系統中，控制規律是由計算機實現的。由于計算機只 能進行四則算術運算，同時計算機只能在一定的采樣時刻從生產過程中取得數據，并在一定的采樣時刻，將計算出來的控制信號送到執行器，因此，必須采用數字式PID運算式，即對式（3-29) PID運算式中的連續積分項和微分項進行四散化處理。

對于積分項用右式近似

對于微分項用右式近似

式中，△t是兩次采樣的間隔時間，即采樣周期Ts;n、n-1為采樣序號。

于是可得離散化后的理想PID控制規律算式為

式中，Yn為第n次采樣后的控制器輸出。

PID控制器同時具有三種基本控制規律（P、I、D)的優點，它吸取了比例控制的快速反應能力，積分控制的消除偏差功能以及微分控制的預測功能，而又彌補了三者的不足。很顯然，從控制效果看，應該是比較理想的一種控制規律。另外，從控制理論的觀點來看，與PD相比，為動態性能的改善提供了可能 因此，PID兼顧了靜態和動態兩方面的控制要求，可以取得較為滿意的控制效果。

但是，事物都是一分為二的。雖然PID三作用控制器的性能效果比較理想，但并不意味著在任何情況下都可采用PID三作用控制器。至少有一點可以說明，PID三作用控制器要整定三個參數，在工程上很難將這三個參數都能整定得最佳。如果參數整定的不合理，就難以發揮各個控制作用的長處，弄不好反而適得其反。